Giáo án Hình học Lớp 12 - Chương II: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu - Tiết 21, Bài 2: Mặt cầu (Tiết 3)

Tiết 21	Ngày soạn: //.
Ngày dạy: //.
§2. MẶT CẦU ( tiết)
Mục tiêu.
Kiến thức:
Biết khái niệm mặt cầu, tâm mặt cầu, bán kính mặt cầu, đường kính mặt cầu. Giao của mặt cầu và mặt phẳng. Giao của mặt cầu và đường thẳng.
Kỹ năng:
Biết cách tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu. Biết chứng minh một số tính chất liên quan đến mặt cầu.
Tư duy, thái độ:
Cĩ tinh thần hợp tác, tích cực tham gia bài học, rèn luyện tư duy logic.
Chuẩn bị phương tiện dạy học.
Thực tiễn: HS đã nắm được các kiến thức về khối hộp chữ nhật, khối lăng trụ, khối chĩp.
Phương tiện: SGK, sách bài tập, bút, thước kẻ và hệ thống ví dụ , bài tập.
Gợi ý về phương pháp dạy học.
Kết hợp linh hoạt các phương pháp vấn đáp, gợi mở, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
Tiến trình tổ chức bài học.
Ổn đinh tổ chức lớp.
Kiểm tra bài cũ.:
H: Xét giao của mặt cầu S(O, r) và mặt phẳng (P) trong các trường hợp h>r, h=r, h<r, với
h=OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P).
Bài mới:
Hoạt động 1
Giao của mặt cầu với đường thẳng, tiếp tuyến của mặt cầu.
Cho mặt cầu S(O; r) và đường thẳng D. Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của tâm O trên D và
d = OH là khoảng cách từ O đến D. Ta cĩ 3 trường hợp sau:
Trường hợp d>r.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội dung
H: Bằng trực quan hãy xác định giao của mặt cầu S(O, r) với đường thẳng D trong trường hợp d>r?
HS biểu diễn hình học, từ đĩ đưa ra kết luận:
OM > r Þ (D) Ç (S) = f (Mọi điểm M thuộc D đều nằm ngồi mặt cầu.)
Ta cĩ: OM > r
Þ (D) Ç (S) = f (Mọi điểm M thuộc D đều nằm ngồi mặt cầu.)
O
r
(D)
d
H
Hoạt động 2
Trường hợp d=r.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội dung
H1: Bằng trực quan hãy xác định giao của mặt cầu S(O, r) với đường thẳng D trong trường hợp d=r?
H2: Nêu điều kiện cần và đủ để đường thẳng D tiếp xúc với mặt cầu S(O ; r) tại điểm H?
HS biểu diễn hình học, từ đĩ đưa ra kết luận:
OM > OH = r
Þ (D) Ç (S) = M
TL2: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng D tiếp xúc với mặt cầu S(O ; r) tại điểm H là D vuơng gĩc với bán kính OH tại điểm H đĩ.
Ta cĩ : OM > OH = r
Þ (D) Ç (S) = M
M: được gọi là tiếp điểm
(D) : được gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.
Như vậy : Điều kiện cần và đủ để đường thẳng D tiếp xúc với mặt cầu S(O ; r) tại điểm H là D vuơng gĩc với bán kính OH tại điểm H đĩ.
(
H
Hoạt động 3
Trường hợp d<r.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội dung
H1:	Bằng	trực quan hãy xác định giao của mặt cầu S(O, r) với đường thẳng	D	trong trường hợp d<r? H2: Xác định độ dài đoạn AB?
TL1: HS biểu diễn hình học, từ đĩ đưa ra kết luận:
OH < r
Þ (D) Ç (S) = {A, B}
TL2:
AB = 2HA = 2 OA2 - OH 2
= 2 r2 - d 2
Ta cĩ : OH < r
Þ (D) Ç (S) = {A, B}
D
R
d
A	H
B
* Nhận xét:
a/ Qua điểm A nằm trên mặt cầu (S; r) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S; r). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của mặt cầu (S; r) tại điểm A.
b/ Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu (S; r) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu (S; r). Độ dài các đoạn
thẳng kẻ từ A tới tiếp điểm đều
bằng nhau.
* Chú ý:
+ Ta nĩi mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đĩ tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện đĩ, và mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều thuộc mặt cầu.
+ Khi nĩi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, ta cũng nĩi hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu.
Cơng thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội dung
H: Để xác định diện tích mặt cầu và thể tích mặt cầu, ta cần phải xác định được
những yếu tố nào?
TL: Để xác định diện tích mặt cầu và thể tích mặt cầu, ta cần phải xác định được bán kính mặt cầu.
Dùng phương pháp gới hạn, người ta chứng minh được rằng:
+ Mặt cầu bán kính r cĩ diện tích là:
S = 4.p.r2
+ Mặt cầu bán kính r cĩ thể tích là:
V = 4 p.r3
3
Hoạt động 2
Ví dụ: Cho hình lập phương cĩ cạnh bằng 2a ngoại tiếp một mặt cầu. Xác định diện tích mặt cầu và thể tích mặt cầu?
Hoạt động của
GV
Hoạt động
của HS
Nội dung
GV yêu cầu HS vẽ hình và tính bán kính mặt cầu. H: Tính diện tích và thể tích mặt cầu?
HS vẽ hình và từ đĩ xác định bán kính mặt cầu la a.
TL:	Áp	dụng	cơng	thức: S=4.p.r2 và V = 4 p.r3, ta cĩ:
3
S=4.p.a2 và V = 4 p.a3
3
Giải:
Áp dụng cơng thức: S=4.p.r2 và V =
4 p.r3, ta cĩ:
3
S=4.p.a2 và V = 4 p.a3
3
Hoạt động 1
Giải bài tập 1 trang 49 SGK Hình học 12
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội dung
GV cho HS nhắc lại kết quả tập hợp điểm M nhìn đoạn AB dưới 1 gĩc vuơng (hình học phẳng) ?
H2: Dự đốn cho kết quả này trong khơng gian ?
GV Nhận xét: đường trịn đường kính AB với mặt cầu đường kính AB	=> giải quyết chiều thuận
- Vấn đề M Ỵ mặt cầu đường kính AB=> AMB = 1V?
TL: Là đường trịn đường kính AB
TL2: Đường trịn đường kính AB nằm trên mặt cầu đường kính AB.
Hình vẽ
(=>) vì AMB = 1V=> MỴ đường trịn dường kính AB => MỴ mặt cầu đường kính AB.
(<=)Nếu MỴ mặt cầu đường kính AB
=> MỴ đường trịn đường kính AB là giao của mặt cầu đường kính AB với (ABM)
=> AMB = 1V
Kết luận: Tập hợp các điểm M nhìn đoạn AB dưới gĩc vuơng là mặt cầu đường kính AB.
Hoạt động 2
Giải bài tập 2 trang 49 SGK Hình học 12
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội dung
Giả sử I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD, ta cĩ điều gì ?
=> Vấn đề đặt ra ta phải tìm 1 điểm mà cách đều 5 đỉnh S, A, B, C, D.
Nhận xét 2 tam giác ABD và SBD.
Gọi O là tâm hình	vuơng ABCD => kết quả nào ?
Vậy điểm nào là tâm cần tìm, bán kính mặt cầu?
TL: IA = IB = IC = ID = IS
Bằng nhau theo trường hợp C-C- C
OA = OB = OC = OD = OS
- Điểm O
Bán kính r = OA= a 2
2
S
a
a	a	a
D	C
a A	O	B
a
S.ABCD là hình chĩp tứ giác đều.
=> ABCD là hình vuơng và SA = SB
= SC = SD.
Gọi O là tâm hình vuơng, ta cĩ 2 tam giác ABD, SBD bằng nhau
=> OS = OA
Mà OA = OB= OC= OD
=> Mặt cầu tâm O, bán kính r = OA =
a 2
2
Hoạt động 2
Giải bài tập 3 trang 49 SGK Hình học 12
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội dung
Gọi (C) là đường trịn cố định cho trước, cĩ tâm I. Gọi O là tâm của một mặt cầu chứa đường trịn, nhận xét đường OI đối với	đường	trịn (C)
=> Dự đốn quĩ tích tâm các mặt cầu chứa đường trịn O.
Trên (C) chọn 3 điểm A,B,C gọi O là tâm mặt cầu chứa (C) ta cĩ kết quả nào ?
Ta suy ra điều gì
? => O Ỵ trục đường trịn (C) .
Ngược lại: Ta sẽ chọn (C) là 1 đường trịn chứa trên 1mặt cầu cĩ tâm trên (D)?
=> O’M’ = ?
HS trả lời: OI là trục của đường trịn (C)
HS: là trục của đường trịn (C) HS trả lời OA = OB = OC
HS: O nằm trên trục đường trịn
(C) ngoại tiếp DABC.
O’M =	O'I2 + r2 khơng đổi.
=> M Ỵ mặt cầu tâm O’
=> (C) chứa trong mặt cầu tâm O’
O
A	C
I
B
=> Gọi A,B,C là 3 điểm trên (C). O là tâm của một mặt cầu nào đĩ chứa (C) Ta cĩ OA = OB = OC => O ỴD trục của (C)
(<=)"O’Ỵ(D) trục của (C)
với mọi điểm MỴ(C) ta cĩ O’M
=	O'I2 + IM2
=	O'I2 + r2 khơng đổi
=> M thuộc mặt cầu tâm O’ bán kính
O'I2 + r2
=> Kết luận: bài tốn : Tập hợp cần tìm là trục đường trịn (C).
Củng cố bài học:
GV củng cố lại định nghĩa mặt cầu, vị trí tương đối của đươờn thẳng với mặt cầu.
Hướng dẫn HS là các bài tập :
Dự đốn I là gì của D ABC ? -> Kết luận OI là đường thẳng nào của D ABC => Dự đốn.
dặn dị
Bài tập 8:
Hướng dẫn vẽ hình.
Giả sử tứ diện ABCD cĩ các cạnh AB, AC, AD, CB, CD, BD lần lượt tiếp xúc với mặt cầu nào đĩ lần lượt tại M, N, P, Q, R, S.
Rút kinh nghiệm giờ giảng.
.................................................................................